Il cappello nel fiume

[matteo]

Un tizio sta remando controcorrente lungo un fiume,
mentre procede attraversa un ponte, prosegue e raggiunge
un altro ponte distante un chilometro dal primo.
Proprio in quell'istante gli cade il cappello in acqua,
prosegue per altri 15 minuti prima di accorgersene
e tornare indietro a recuperarlo. Mentre torna indietro
rema con la stessa forza che usava all'andata.
Quando raggiunge il cappello si trova esattamente sotto
al primo ponte. A quale velocita' scorre il fiume?

[anbra1]

Post by matteo
Un tizio sta remando controcorrente lungo un fiume,
mentre procede attraversa un ponte, prosegue e raggiunge
un altro ponte distante un chilometro dal primo.
Proprio in quell'istante gli cade il cappello in acqua,
prosegue per altri 15 minuti prima di accorgersene
e tornare indietro a recuperarlo. Mentre torna indietro
rema con la stessa forza che usava all'andata.
Quando raggiunge il cappello si trova esattamente sotto
al primo ponte. A quale velocita' scorre il fiume?

<
<
<
<
<
<

<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<
<

2 km/h

Sia vf la velocità del fiume
e vt la velocità del tizio in acqua ferma

Il tizio percorre
1) il tratto s1=1 km
a velocità v1=(vt-vf)
in t1=s1/v1=1/(vt-vf)

2) il tratto in t2=1/4 ora
a velocità v2=v1=(vt-vf)
su s2=s

3) il tratto s3=s2=s
a velocità v3=(vt+vf)
in t3=s3/v3=s/(vt+vf)

4)il tratto s4=s1=1 km
a velocità v4=v3=(vt+vf)
in t4=s4/v4=1/(vt+vf)

5)Il cappello percorre
il tratto s1=s4=1km
a velocità vf
in t2+t3+t4
---------------------------
5)vf=1/(t2+t3+t4)
2)s2=v2t2=>s=(vt-vf)/4
5;2,3,4)vf [(1/4)+[(vt-vf)/4(vt+vf)]+(1/(vt+vf))]=1
(vf/4)[(vt+vf)+(vt-vf)+4]=(vt+vf)
vf[2vt+4]=4(vt+vf)
2vtvf+4vf=4vt+4vf
2vtvf=4vt
vf=2 km/h

[Giorgio Vecchi]

Post by anbra1
2 km/h
Sia vf la velocità del fiume
e vt la velocità del tizio in acqua ferma
Il tizio percorre
1) il tratto s1=1 km
a velocità v1=(vt-vf)
in t1=s1/v1=1/(vt-vf)
2) il tratto in t2=1/4 ora
a velocità v2=v1=(vt-vf)
su s2=s
3) il tratto s3=s2=s
a velocità v3=(vt+vf)
in t3=s3/v3=s/(vt+vf)
4)il tratto s4=s1=1 km
a velocità v4=v3=(vt+vf)
in t4=s4/v4=1/(vt+vf)
5)Il cappello percorre
il tratto s1=s4=1km
a velocità vf
in t2+t3+t4
---------------------------
5)vf=1/(t2+t3+t4)
2)s2=v2t2=>s=(vt-vf)/4
5;2,3,4)vf [(1/4)+[(vt-vf)/4(vt+vf)]+(1/(vt+vf))]=1
(vf/4)[(vt+vf)+(vt-vf)+4]=(vt+vf)
vf[2vt+4]=4(vt+vf)
2vtvf+4vf=4vt+4vf
2vtvf=4vt
vf=2 km/h

Ciao!

Propongo una versione più semplice. Il tizio va a una velocità pari a vt -
vf all'andata e vt + vf al ritorno. Il tizio percorre quindi un tratto pari
a (vt - vf)/4 all'andata e (vt + vf)/4 al ritorno. I due tratti sottratti
tra loro devono valere 1 km.

Quindi (vt + vf)/4 - (vt - vf)/4 = 1

Da cui vt + vf - vt + vf = 4

2vf = 4

vf = 2

Ciao

Giorgio

[anbra1]

Post by Giorgio Vecchi
Propongo una versione più semplice. Il tizio va a una velocità pari a vt -
vf all'andata e vt + vf al ritorno. Il tizio percorre quindi un tratto
pari a (vt - vf)/4 all'andata e (vt + vf)/4 al ritorno.

Mi sfugge! Ma dai dati forniti dove trai che il ritorno venga percorso in
1/4
d'ora ?

[Giorgio Vecchi]

Post by anbra1

Post by Giorgio Vecchi
Propongo una versione più semplice. Il tizio va a una velocità pari a vt -
vf all'andata e vt + vf al ritorno. Il tizio percorre quindi un tratto
pari a (vt - vf)/4 all'andata e (vt + vf)/4 al ritorno.

Mi sfugge! Ma dai dati forniti dove trai che il ritorno venga percorso in
1/4
d'ora ?

Hai ragione, ho dato per scontato una considerazione che invece necessita di
una piccola analisi. Consideriamo il tutto da un sistema di riferimento
solidale con il cappello ovvero solidale con la corrente del fiume. Potremmo
essere su una barca ferma a fianco del cappello. Poco importa se la corrente
ci trascina, noi ignoriamo questo fatto e consideriamo il tutto pensando di
essere fermi (esattamente quello che facciamo nella vita di tutti i giorni,
quando ignoriamo di essere sulla Terra che si muove attorno a se stessa e
attorno al Sole). Da questo punto di osservazione vediamo il tizio
allontanarsi alla sua velocità per 15 minuti. Siccome la velocità intrinseca
del tizio non cambia, al ritorno impiegherà ovviamente sempre 15 minuti a
raggiungerci, poco importa se nel frattempo noi, il cappello, il tizio e il
fiume ci siamo tutti traslati di un chilometro rispetto a un riferimento
sulla terraferma.

A questo punto c'è una soluzione ancora più semplice. Siccome il tempo
totale trascorso è di mezz'ora e il cappello, nel sistema di riferimento
della terraferma, ha percorso 1 km, va da sé che la velocità del cappello (e
della corrente) è di 2 km/h.

Ciao

Giorgio

[matteo]

Post by Giorgio Vecchi
Hai ragione, ho dato per scontato una considerazione che invece
necessita di una piccola analisi. Consideriamo il tutto da un sistema di
riferimento solidale con il cappello ovvero solidale con la corrente del
fiume. Potremmo essere su una barca ferma a fianco del cappello. Poco
importa se la corrente ci trascina, noi ignoriamo questo fatto e
consideriamo il tutto pensando di essere fermi
[...]
A questo punto c'è una soluzione ancora più semplice. Siccome il tempo
totale trascorso è di mezz'ora e il cappello, nel sistema di riferimento
della terraferma, ha percorso 1 km, va da sé che la velocità del
cappello (e della corrente) è di 2 km/h.
Ciao
Giorgio

Anche io l'avevo risolto come ha fatto anbra1,
la tua soluzione è molto elegante e merita i miei complimenti.

CheckMate

[anbra1]

Consideriamo il tutto da un sistema di riferimento

Post by Giorgio Vecchi
solidale con il cappello ovvero solidale con la corrente del fiume.
Potremmo essere su una barca ferma a fianco del cappello. Poco importa se
la corrente ci trascina, noi ignoriamo questo fatto e consideriamo il
tutto pensando di essere fermi (esattamente quello che facciamo nella vita
di tutti i giorni, quando ignoriamo di essere sulla Terra che si muove
attorno a se stessa e attorno al Sole). Da questo punto di osservazione
vediamo il tizio allontanarsi alla sua velocità per 15 minuti. Siccome la
velocità intrinseca del tizio non cambia, al ritorno impiegherà ovviamente
sempre 15 minuti a raggiungerci, poco importa se nel frattempo noi, il
cappello, il tizio e il fiume ci siamo tutti traslati di un chilometro
rispetto a un riferimento sulla terraferma.
A questo punto c'è una soluzione ancora più semplice. Siccome il tempo
totale trascorso è di mezz'ora e il cappello, nel sistema di riferimento
della terraferma, ha percorso 1 km, va da sé che la velocità del cappello
(e della corrente) è di 2 km/h.
Ciao
Giorgio

Brillante ragionamento
che rende poi elegante
e veloce tutta la soluzione!
Nel test di Wechsler devi aver ottenuto più di 130

Complimenti a matteo
per il problema postato
:)

Ciao!

[Giorgio Vecchi]

Post by anbra1

Post by Giorgio Vecchi
Ciao
Giorgio

Brillante ragionamento
che rende poi elegante
e veloce tutta la soluzione!
Nel test di Wechsler devi aver ottenuto più di 130
Complimenti a matteo
per il problema postato
:)

Troppo buoni entrambi. A dire il vero, in problemi del genere, quando ne
intravedo la possibilità, sono sempre portato a cercare una via alternativa
per affrontarli, soprattutto perché so che, affrontandoli come hai fatto tu,
mi perderei di sicuro in mezzo ai calcoli! Insomma, ho fatto di necessità
virtù... :-)

Adesso mi vado a guardare cosa è il test di Wechsler... :-)

Ciao!

Giorgio